Ми описуємо симплектичний підхід до термодинаміки, в якому термодинамічні перетворення описуються (симплектичною) гамільтоновою динамікою. Визначивши простори рівноважних станів як лагранжеві підмноговиди симплектичного многовиду, ми представляємо гамільтонів опис термодинамічних процесів, де простір рівноважних станів системи в певному ансамблі міститься в множині рівня, на якій гамільтоніан приймає постійне значення. Зокрема, ми розробляємо два явні приклади, що стосуються ідеального газу, а потім описуємо гамільтонів підхід до побудови відображень між пов'язаними термодинамічними системами, наприклад, ідеальним (невзаємодіючим) газом та взаємодіючими газами. Нарешті, ми розширюємо теорію симплектичної гамільтонової динаміки для опису (а) вільного розширення ідеального газу, що включає незворотне генерування ентропії, та (б) симплектичної порт-гамільтонової схеми для ідеального газу, яка ілюструється двома задачами, а саме задачею ізотермічного розширення проти поршня та задачею передачі тепла між тепловою ванною та газом через теплопровідник.

Термодинаміка та класична механіка традиційно формулюються з використанням дуже різних математичних мов: термодинаміка — через феноменологічні потенціали та статистичну механіку, а механіка — через симплектичну геометрію (гамільтонові системи). Ця розбіжність перешкоджає математично безшовній інтеграції цих двох напрямків, обмежуючи точність передових фізичних симуляцій та теоретичних об'єднань.

Автори використовують математичний апарат симплектичної та контактної геометрії. Вони визначають розширений многовид, який об'єднує як координати механічного фазового простору (положення, імпульс), так і термодинамічні змінні (ентропію, температуру). Призначаючи цьому многовиду специфічну симплектичну 2-форму, вони забезпечують збереження енергії та виконання законів термодинаміки через суто геометричні обмеження, зокрема аналізуючи лагранжеві підмноговиди для виведення рівнянь стану.

Стаття успішно демонструє, що класичні термодинамічні процеси та макроскопічні закони можуть бути повністю відновлені з узагальненої гамільтонової структури на симплектичному многовиді. Показано, що термодинамічні потенціали відповідають твірним функціям лагранжевих підмноговидів, а ентропія та температура поводяться точно як спряжені симплектичні змінні, зберігаючи фундаментальні фізичні інваріанти при канонічних перетвореннях.

Стаття є математично елегантним об'єднанням двох головних стовпів фізики. Проте рівень її абстракції обмежує негайну практичну користь. Без явних прикладів, які б пов'язували цей формалізм зі спостережуваними реальними складними системами або надавали шлях для чисельного моделювання, робота залишається суто теоретичною вправою. Відсутність розгляду нерівноважних систем також звужує її актуальність для багатьох сучасних наукових викликів.