Ми строго доводимо існування інтерфейсних мод у моделі гострого інтерфейсу, які розгалужуються від подвійного конуса Дірака внаслідок інверсії зон, викликаної порушенням суперсиметрії. Визначено точну кількість інтерфейсних мод. Доказ заснований на дискретній версії методу шарового потенціалу. Крім того, ми доводимо, що такі інтерфейсні моди симетрійно захищені від збурень, які поважають симетрію відбиття. Це відкриття має значні наслідки для розробки надійних хвилеводів та сенсорів у фотоніці та акустиці, зокрема у контексті топологічних метаматеріалів, де дефекти можуть бути навмисно введені без шкоди для функціональності.