Метод релаксованого Ньютона є однопараметричним сімейством методів знаходження коренів, що узагальнює класичний метод Ньютона. При розгляді як раціонального відображення на сфері Рімана, це сімейство демонструє багату та тонку глобальну динаміку, яка залежить як від базового полінома, так і від параметра релаксації. Наші основні результати ідентифікують кілька явних класів поліномів, для яких метод релаксованого Ньютона є збіжним для всіх параметрів, у тому сенсі, що множина Фату складається точно з басейнів притягання коренів. Ми також показуємо, що ця сприятлива поведінка не дотримується загалом: для будь-якого фіксованого параметра релаксації існує загальний кубічний поліном, для якого відображення релаксованого Ньютона не є збіжним. Додаткові результати включають повну характеристику того, коли множина Жуліа є прямою лінією, аналіз груп симетрії, що виникають з обертальної інваріантності, та достатні умови, що забезпечують необмеженість усіх безпосередніх басейнів притягання.